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Basics

Die Art und Weise, wie Informationen über ein Medium wie ein Kupferkabel übermittelt wird, besteht darin, die Spannung oder die Stromstärke zu variieren. Indem man die Werte dieser Spannung oder Stromstärke als Funktion der Zeit $ f(t)$ darstellt, läßt sich das Verhalten des Signals modellieren und mathematisch untersuchen. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts analysierte der französische Mathematiker Jean-Baptiste Fourier periodische Funktionen und bewies, daß jede halbwegs 'normale' periodische Funktion6.1 $ h(t)$ mit Periode $ T$ dargestellt werden kann in der Form:

$\displaystyle h(t) = \frac{1}{2}c+\sum_{n=1}^\infty a_n \sin (2\pi n \nu t)
 +\sum_{n=1}^\infty b_n \cos (2\pi n \nu t)$ (6.1)

wobei

$\displaystyle h(t) = h(t+T).$ (6.2)

Dabei ist $ \nu = 1/T$ die Grundfrequenz und $ a_n$ bzw. $ b_n$ sind die Sinus bzw. Cosinus Amplituden der n-ten Oberschwingungen. Eine solche Darstellung einer periodischen Funktion nennt man Fourier Reihe. Die Funktion $ h(t)$ kann aus der Kenntnis der Fourier Reihe rekonstruiert werden, i.e. ist die Periode $ T$ bekannt und kennt man die Koeffizienten $ a_n$ unf $ b_n$, dann läßt sich durch Bildung der Summen in Gl. (6.1) die Funktion $ h(t)$ finden. Um diesen Formalismus auf ein Datensignal mit einer endlichen Lebensdauer anzuwenden, wird das Signal so gehandhabt, daß sich das komplette Signalmuster immer wiederholt, also im Zeitintervall $ [T,2T]$ hat man die gleiche Funktion wie im Intervall $ [0,T]$ usw. Die Koeffizienten $ a_n$ können nun für jede Funktion $ h(t)$ aus Gl. 6.1 berechnet werden, indem man beide Seiten der Gl. 6.1 mit $ \sin(2\pi k\nu t)$ multipliziert und anschließend von 0 bis $ T$ integriert. Da die Sinusfunktionen orthogonal sind, i.e.

$\displaystyle \int_0^T dt \sin(2\pi k\nu t)\sin(2\pi n\nu t) = \delta_{kn}\frac{T}{2}$ (6.3)

überlebt nach der Integration genau ein Term: $ a_n$. Die Summe über die Koeffizienten $ b_n$ verschwindet dabei komplett. Analog erhält man die Koeffizienten $ b_n$, indem man Gl. (6.1) mit $ \cos(2\pi k\nu t)$ multipliziert und über die Periode $ [0,T]$ integriert. Integriert man letztendlich beide Seiten der Gleichung (6.1) über das Intervall $ [0,T]$, dann resultiert aus dieser Integration der konstante Faktor $ c$, denn sämtliche Sinus- und Cosinusterme verschwinden, wenn über eine Periode integriert wird. Zusammengefaßt ergibt sich:

$\displaystyle a_n$ $\displaystyle = \frac{2}{T}\int_0^T dt\: h(t)\sin(2\pi n\nu t)$ (6.4)
$\displaystyle b_n$ $\displaystyle = \frac{2}{T}\int_0^T dt\: h(t)\cos(2\pi n\nu t)$ (6.5)
$\displaystyle c$ $\displaystyle = \frac{2}{T}\int_0^T dt\: h(t)$ (6.6)

Um zu sehen, was das alles mit Datenübertragung in einem Netz zu tun hat, sehen wir uns ein konkretes Beispiel an. In der ASCII-Codierung wird das Zeichen 'a' durch die Bitfolge 01 100 001 dargestellt. Sendet man also das Zeichen 'a' über ein Datennetz, wird physikalisch auf dem Übertragungsmedium das Bitmuster 01100001 übertragen. Ein solches Bitmuster läßt sich mathematisch folgendermaßen formulieren:

$\displaystyle h(t)=
 \begin{cases}
 0 & \text{f\uml ur}\qquad t \in [0,\frac{1}...
...}{8}T] \\  
 1 & \text{f\uml ur}\qquad t \in [\frac{7}{8}T,T] \\  
 \end{cases}$ (6.7)

Abbildung 6.1: Das 01100001 - Bitmuster.
\begin{figure}
{% Picture saved by xtexcad 2.4\unitlength=0.850000pt
\begin{p...
...,0){289.00}}
\put(19.00,50.00){\line(0,1){120.00}}
\end{picture}}
\end{figure}

Die Funktion (6.7) kann nun nach dem oben beschriebenen Verfahren in ihre Fourierkomponenten zerlegt werden. Nach etwas elementarer Integration folgt für die verschiedenen Koeffizienten:

\begin{displaymath}\begin{split}
 a_n & = \frac{2}{T}\int_0^T h(t) \sin(2\pi n\n...
...4)-\cos(3\pi n / 4)
 +\cos(7\pi n /4)-1
 \biggr ) 
 \end{split}\end{displaymath} (6.8)

\begin{displaymath}\begin{split}
 b_n & = \frac{2}{T}\int_0^T h(t) \cos(2\pi n\n...
...n / 4)+\sin(3\pi n / 4)-\sin(7\pi n /4)
 \biggr ) 
 \end{split}\end{displaymath} (6.9)

\begin{displaymath}\begin{split}
 c & = \frac{2}{T}\int_0^T h(t) dt \\  
 & = \f...
...frac{7}{8}T
 \biggr)\biggr ] \\  
 & = \frac{3}{4}
 \end{split}\end{displaymath} (6.10)

Zusammengefaßt kann die Funktion $ h(t)$ also dargestellt werden in der Fourier Reihe:

\begin{displaymath}\begin{split}
 h(t) = &\frac{1}{2}c+\sum_{n=1}^\infty a_n \si...
...-\sin(\frac{7\pi n}{4}) \biggr )\cos(2\pi n\nu t) 
 \end{split}\end{displaymath} (6.11)

Eine weitere wichtige Größe, die in diesem Umfeld eine Rolle spielt ist

$\displaystyle I_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2},$ (6.12)

denn diese Größe ist proportional zur Energie, die bei der entsprechenden Frequenz (=Oberschwingung) übertragen wird. Keine Übertragungseinrichtung kann Signale übermitteln, ohne daß bei dem Übertragungsvorgang Energie verloren geht. Würden alle Fourierkomponenten gleichermaßen abgeschwächt werden, wäre das beim Empfänger angelangte Signal in der Amplitude reduziert, die Form des Signals würde aber unverändert bleiben. Unglücklicherweise schwächen alle Übertragungseinrichtungen die verschiedenen Fourierkomponenten unterschiedlich stark ab. Auf diese Weise entsteht bei der Übertragung eines Signals eine Signalverzerrung. Üblicherweise werden die Signale von einer Frequenz 0 bis zu einer bestimmten Frequenz $ \nu_c$ (gemessen in Hertz oder Schwingungen pro Sekunde) unverzerrt übertragen. Dabei werden alle Frequenzen oberhalb dieser Cutoff-Frequenz $ \nu_c$ stark gedämpft und somit abgeschwächt. Zum Teil ist dies eine physikalische Eigenschaft des Übertragungsmediums, zum Teil wird aber auch künstlich ein Filter eingebaut, um die (knappen) Bandbreiten für bestimmte Nutzer aufzuteilen. Wir wollen uns nun ansehen, wie das Signal aus Abbildung 6.1 übertragen wird, wenn die Bandbreite des Übertragungskanals so eng ist, daß nur die niedrigsten Frequenzen übertragen werden können. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, daß in der Näherung aus Gleichung 6.1 nur die ersten paar Terme beitragen. Mit etwas Trigonometrie folgt:

\begin{displaymath}\begin{split}
 a_1 &= \frac{1}{\pi}\biggl\{\frac{3\sqrt{2}}{2...
...ggl\{\frac{3\sqrt{2}}{2}-1\biggr\} \qquad
 a_8 = 0
 \end{split}\end{displaymath} (6.13)

sowie

\begin{displaymath}\begin{split}
 b_1 &= \frac{\sqrt{2}}{2\pi} \qquad b_2 = -\fr...
...\\  
 b_7 &= -\frac{\sqrt{2}}{14\pi} \qquad b_8 =0
 \end{split}\end{displaymath} (6.14)

Damit erhält man für die zweite Oberschwingung (mit $ T=2\pi$):

\begin{displaymath}\begin{split}
 h^{(2)}(t) &= \frac{1}{2}c + a_1\sin(2\pi\nu t...
...
 & -\frac{1}{2\pi}\biggl(\sin(2t)+\cos(2t)\biggr)
 \end{split}\end{displaymath} (6.15)

Diese Funktion ist in Abbildung 6.2 grafisch dargestellt.

Abbildung 6.2: Die zweite harmonische Näherung des Bitmusters 'a'.
\begin{figure}
\centering\setlength {\unitlength}{0.240900pt}\ifx\plotpoint...
...put(1413.0,447.0){\rule[-0.200pt]{3.132pt}{0.400pt}}
\end{picture}
\end{figure}

Analog erhält man (mit etwas Mühe) die höheren Oberschwingungen:

\begin{displaymath}\begin{split}
 h^{(4)}(t) &= \frac{1}{2}c + a_1\sin(2\pi\nu t...
...2}}{6\pi}\cos(3t) \\  
 & -\frac{1}{2\pi}\sin(4t) 
 \end{split}\end{displaymath} (6.16)

Der Funktionsverlauf dieser Näherung ist in Abbildung 6.3 zu sehen.

Abbildung 6.3: Die vierte harmonische Näherung des Bitmusters 'a'.
\begin{figure}
\centering\setlength {\unitlength}{0.240900pt}\ifx\plotpoint...
...\put(980.0,322.0){\rule[-0.200pt]{3.132pt}{0.400pt}}
\end{picture}
\end{figure}

\begin{displaymath}\begin{split}
 h^{(6)}(t) &= \frac{1}{2}c + a_1\sin(2\pi\nu t...
... & +\frac{1}{6\pi}\biggl(\cos(6t)-\sin(6t) \biggr)
 \end{split}\end{displaymath} (6.17)

Abbildung 6.4: Die sechste harmonische Näherung des Bitmusters 'a'.
\begin{figure}
\centering\setlength {\unitlength}{0.240900pt}\ifx\plotpoint...
...put(1045.0,288.0){\rule[-0.200pt]{3.132pt}{0.400pt}}
\end{picture}
\end{figure}

\begin{displaymath}\begin{split}
 h^{(8)}(t) &= \frac{1}{2}c + a_1\sin(2\pi\nu t...
...biggr\}\sin(7t) 
 -\frac{\sqrt{2}}{14\pi}\cos(7t) 
 \end{split}\end{displaymath} (6.18)

Diese Funktion ist in in Abbildung 6.5 zu sehen.

Abbildung 6.5: Die achte harmonische Näherung des Bitmusters 'a'.
\begin{figure}
\centering\setlength {\unitlength}{0.240900pt}\ifx\plotpoint...
...put(1190.0,248.0){\rule[-0.200pt]{3.132pt}{0.400pt}}
\end{picture}
\end{figure}

Aus diesen Betrachtungen ist abzulesen, je mehr Ordnungen in einem Band übertragen werden, umso besser entspricht das Muster, das beim Empfänger ankommt dem ausgesendeten Signal. Die erforderliche Zeit $ T$, um den Buchstaben 'a' (also das Zeichen) zu übertragen, hängt von zwei Dingen ab:
  1. dem Codierungsverfahren
  2. der Signalgeschwindigkeit
Unter dem zweiten Punkt versteht man genauer, die wie oft pro Sekunde das Signal seine Werte ändert - zum Beispiel die Spannung. Diese Anzahl der Änderungen pro Sekunde wird in der Einheit Baud gemessen. Eine Leitung, die $ d$ Bauds übertragen kann, muß nicht notwendigerweise $ d$ Bits pro Sekunde übertragen. Das ist sehr wichtig für das Verständnis. Werden - wie in Abbildung 6.6 skizziert - die Spannungen (-2V,-1V,+1V,+2V) benutzt, so kann jeder Signalwert 2 Bits übertragen, die Bitrate ist dann also doppelt so hoch wie die Baudrate. Die eigentlichen Informationen werden durch die Bits übermittelt, daher ist die Bitrate das Maß der Dinge für die Übermittelung von Informationen. In unserem vorliegenden Beispiel der Übertragung eines Buchstabens 'a' haben wir genau die beiden Zustände 0 und 1 für die Signalwerte benutzt, daher ist in diesem Fall die Bitrate gleich der Baudrate. Um den Unterschied zwischen Bit- und Baudrate zu verdeutlichen, kann man folgende Analogie betrachten. Man stelle sich eine 4-spurige Autobahn vor, im Durchschnitt passieren pro Minute 20 Autos eine Stelle in einer Richtung. Das heißt, die 'Schrittgeschwindigkeit' beträgt 20 Autos/Minute. Wenn jetzt in jedem Auto genau ein Insasse sitzt, ist die 'Bitrate' gleich der 'Baudrate'. Nun können in jedem Auto aber vier Personen sitzen. Dann bleibt die 'Baudrate' gleich (vorausgesetzt es passieren nach wie vor 20 Autos die gedachte Stelle), aber die Bitrate hat sich auf vier erhöht, weil pro Schritt mehr Personen transportiert werden. Angenommen wir betrachten eine Datenübertragung mit einer Bitrate von $ d$ Bits/sec. So ist die Zeit, um beispielsweise 8 Bits zu übertragen durch $ 8/d$ sec gegeben. Dann ist die Frequenz der ersten Oberschwingung ($ \nu_1$) durch $ d/8$ Hertz gegeben. Eine gewöhnliche, analoge Telefonverbindung hat eine künstlich eingeführte Cutoff-Frequenz von 3.000 Hertz. Diese Restriktion impliziert, daß die Nummer der höchsten Oberschwingung, die übertragen wird, etwa durch $ 3.000/(d/8)$ oder $ 24.000/d$ gegeben ist (der Cutoff ist etwas unscharf).

Tabelle: Beziehung zwischen der Bitrate und den Oberschwingungen. Die letzte Spalte (#) gibt an, wieviele Oberschwingungen bei einer gegebenen Bitrate übertragen werden.
bps T $ \nu_1$ #
300 26,67 msec 37,5 Hz 80
600 13,33 msec 75 Hz 40
1.200 6,67 msec 150 Hz 20
2.400 3,33 msec 300 Hz 10
4.800 1,67 msec 600 Hz 5
9.600 0,83 msec 1.200 Hz 2
19.200 0,42 msec 2.400 Hz 1
38.400 0,21 msec 4.800 Hz 0


Für eine Reihe von Bitraten sind die relevanten Zahlen in der Tabelle 6.1 aufgelistet. Aus dieser Tabelle kann man folgendes ableiten: Versucht man über eine Telefonleitung mit einer Bandbreite von 3.000 Hz ein Signal mit einer Bitrate von 9.600 bps zu übertragen, dann wird das Bitmuster aus Abbildung 6.1 in etwa wie das Muster 6.2 aussehen. Dies macht natürlich einen akkuraten Empfang des ursprünglichen binären Bitstroms etwas problematisch. Weiterhin ist aus der Tabelle 6.1 zu lesen, daß es bei einer Datenrate größer als 38,4 kbps keine Hoffnung für binäre Signale gibt, daß beim Empfänger irgendetwas Sinnvolles ankommt - selbst wenn die Übertragungseinrichtung völlig rauscharm wäre. Mit anderen Worten:
Durch eine Beschränkung der Bandbreite eines Übertragungskanals durch eine Cut-Off Frequenz wird gleichzeitig die Übertragungsrate des Kanals beschränkt. Dies gilt auch für störungsfreie Übertragungskanäle.
Es gibt jedoch ausgeklügelte Codierungsschemata, die mehrere Spannungslevel für die Übertragung benutzen, wodurch höhere Übertragungsraten erzielt werden können. Bereits im Jahre 1924 hat H. Nyquist dieses fundamentale Naturprinzip erkannt und eine Gleichung hergeleitet, die die maximale Datenübertragungsrate in einem störungsfreien Übertragungskanal mit endlicher Bandbreite liefert. Im Jahre 1948 hat Claude Shannon Nyquists Theorem auf Übertragungskanäle mit Rauschen erweitert. Nyquist bewies folgendes: Falls ein Signal einen Filter mit der Bandbreite $ H$ durchläuft, kann das gefilterte Signal komplett rekonstruiert werden, indem man $ 2H$ Zugriffe auf das Signal pro Sekunde macht. Besteht das Signal aus $ V$ diskreten Zuständen, dann ist:

maximale Datenrate$\displaystyle = 2H\log_2 V$   Bits/sec (6.19)

Nach Nyquist kann daher ein rauschfreier 3-kHz Kanal binäre Signale (i.e. 2-stufige Signale wie in unserem 'a' Beispiel) nicht höher übertragen als mit einer Rate von 6.000 bps. Bisher haben wir nur rauschfreie Übertragungskanäle betrachtet. Wenn nun zufälliges Rauschen mit im Spiel ist - dies ist auf physikalischen Übertragungsmedien immer der Fall - ändern sich die Dinge beträchtlich. Der Betrag des thermischen Rauschens wird durch das Verhältnis Signalintensität $ S$ zu Rauschintensität $ N$ gemessen und angegeben, also $ S/N$. Üblicherweise wird dabei aber nicht das Verhältnis $ S/N$ angegeben sondern es wird die Größe $ 10 \log_{10} S/N$ benutzt. Diese Einheit kennt man unter der Bezeichnung Dezibel oder kurz db. Ein $ S/N$ Verhältnis von 10 entspricht 10 db, ein Signal-Rauschen-Verhältnis $ S/N$ von 100 sind 20 db und $ S/N=1000$ entspricht 30 db. Shannons Hauptresultat besagt nun, daß die maximale Datenrate auf einem verrauschten Übertragungskanal mit Bandbreite von $ H$ Hz und Signal-Rausch-Verhältnis $ S/N$ durch

maximale Anzahl Bits/sec$\displaystyle = H\log_2(1+S/N)$ (6.20)

gegeben ist. Beispielsweise kann ein Übertragungskanal mit 3.000 Hz Bandbreite und einem Signal-Rausch-Verhältnis von 30 db (das sind typische Werte für das analoge Telefonnetz) niemals mehr als 30.000 bps übertragen. Dies ist - im Gegensatz zu Nyquists Resultat - unabhängig davon, wieviele Signallevels zur Übertragung eingesetzt werden.
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Yasar Arman
2000-05-15